Question

7．已知雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一個頂點是拋物線C₁：y²=2x的焦點F，兩條曲線的一個交點為M，|MF|=$\frac{3}{2}$，則雙曲線C₂的離心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{33}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通過題意可知F（$\frac{1}{2}$，0）、不妨記M（1，$\sqrt{2}$），將點M、F代入雙曲線方程，計算即得結論．

解答 解：由題意可知F（$\frac{1}{2}$，0），
由拋物線的定義可知：x_M=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴y_M=±$\sqrt{2}$，不妨記M（1，$\sqrt{2}$），
∵F（$\frac{1}{2}$，0）是雙曲線的一個頂點，
∴$\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}$=1，即a²=$\frac{1}{4}$，
又點M在雙曲線上，∴$\frac{1}{\frac{1}{4}}-\frac{2}{{b}^{2}}$=1，即b²=$\frac{2}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查求雙曲線的離心率，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．