Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；

（2）設(shè)方程（）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）， （2）證明見解析

【解析】

（1）由求得函數(shù)零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，只有在時(shí)，，因此，考查（1）中切線，先證明（），只要構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得證，方程的解為，（不妨設(shè)，則），要證不等式變形為證明，即證，由，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證．

（1）由，得，∴函數(shù)的零點(diǎn)是.

，，.

曲線在處的切線方程為.

，，

∴曲線在處的切線方程為

（2）.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

由（1）知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

下面證明：當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，

.

易知，在上單調(diào)遞增，

而，

∴對(duì)恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，.

由得.記.

不妨設(shè)，則，

∴.

要證，只要證，即證.

又∵，∴只要證，即.

∵，即證.

令.

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù).

∴，∴，

∴