Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ）求證：BD⊥EG．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中點，知AD

∥

.

BG，故四邊形ADGB是平行四邊形，由此能夠證明AB∥平面DEG．
（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，知EF⊥AE，由AE⊥EB，知AE⊥平面BCFE．過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．由此能夠證明BD⊥EG．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，
∴AD

∥

.

BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．…（5分）
（Ⅱ）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD是平行四邊形，
∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，
∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，
∴BD⊥EG．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平等的證明，考查異面直線垂直的證明．解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意空間思維能力的培養．