Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（Ⅰ） 求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求證：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先證明四邊形ADGB是平行四邊形，可得AB∥DG，從而證明AB∥平面DEG．
（Ⅱ） 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．
（Ⅲ）分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系，由已知得

EB

=(2，0，0)是平面EFDA的法向量．
求出平面DCF的法向量為n=（x，y，z），則由cosθ=cos＜n，

EB

＞求得 二面角C-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．  又∵BC=2AD，G是BC的中點，∴AD

∥ .

.

BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE． 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG． 又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（Ⅲ）分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系，由已知得

EB

=(2，0，0)
是平面EFDA的法向量．設平面DCF的法向量為n=（x，y，z），∵

FD

=(0，-1，2)，

FC

=(2，1，0)，
∴

FD • n =0 FC • n =0

，即

-y+2z=0 2x+y=0

，令z=1，得n=（-1，2，1）． 設二面角C-DF-E的大小為θ，
則cosθ=cos＜n，

EB

＞=

-2

2 6

=-

6

6

，∴二面角C-DF-E的余弦值為-

6

6

．

點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，用向量法求二面角C-DF-E的余弦值，是解題的難點．