Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中點，知四邊形ADGB是平行四邊形，由此能證明AB∥平面DEG．
（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，知EF⊥AE，EF⊥BE，由AE⊥EB，知EB，EF，EA兩兩垂直．以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出二面角C-DF-E的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，
∴AD

∥ .

.

BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．…（6分）
（Ⅱ）解：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直．…（7分）
以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
由已知得A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），
由已知得

EB

=（2，0，0）是平面EFDA的法向量，
設平面DCF的法向量

n

=（x，y，z），
∵

FD

=（0，-1，2），

FC

=（2，1，0），
∴

FD • n =-y+2z=0 FC • n =2x+y=0

，解得

n

=（-1，2，1）．
設二面角C-DF-E的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

EB

＞=

-2

2 6

=-

6

6

．
∴二面角C-DF-E的余弦值為-

6

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．