Question

已知定義域為R的奇函數y=f（x）在（0，+∞）是減函數，且f（1）=0，

f(x-1)

x-1

＞0的解集為

（0，1）∪（1，2）

（結果用區間表示）．

Answer 1

分析：先由函數的奇偶性、單調性畫出f（x）的草圖，結合圖象對不等式

f(x-1)

x-1

＞0進行等價轉化，從而可解．

解答：解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，且在（0，+∞）上是減函數，
∴在（-∞，0）上也是減函數；
又因為f（-1）=-f（1）=0．
可得其大致圖象，如右圖：結合圖象可得

f(x-1)

x-1

＞0?

x-1＞0 f(x-1)＞0

或

x-1＜0 f(x-1)＜0

?

x＞1 x-1＜-1或0＜x-1＜1

或

x＜1 -1＜x-1＜0或x-1＞1

，
解得，1＜x＜2或0＜x＜1．
故

f(x-1)

x-1

＞0的解集為：（1，2）∪（0，1）．
故答案為：（1，2）∪（0，1）．

點評：本題考查抽象函數的單調性、奇偶性，及抽象不等式的求解，解抽象不等式一般借助函數的單調性解決．