Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（Ⅱ）四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且對(duì)角線，過(guò)原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，代入條件可得橢圓方程，進(jìn)而可得離心率；

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，，設(shè)的方程為，，，與橢圓聯(lián)立得 ，由，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得，表示原點(diǎn)到直線的距離，代入 化簡(jiǎn)即可得解.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，則

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以，，，離心率.

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)、位于軸的上方，則直線的斜率存在，

設(shè)的方程為，，.

聯(lián)立，得 ，

則，.①

由，得 .②

由①、②，得.③

設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為， ，

.

由③、④得，故四邊形的面積為定值，且定值為.