Question

某廠家擬在2011年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）t萬件與年促銷費用x萬元（x≥a，a為一個正常數）滿足，已知2011年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定和再投入兩部分資金）．
（1）將2011年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用x萬元的函數；（注：利潤=銷售收入-總成本）
（2）該廠家2011年投入的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

解：（1）∵．
每件產品的銷售價格為（元），----------（1分）
∴2011年的利潤----------（3分）
=
即y=----------（5分）（定義域占1分）
（2）∵----------（2分）
由y'=0解得x=3（舍去-5）-----------（3分）
令y′＞0得0＜x＜3∴x∈（0，3）時，y為增函數，-------（4分）
令y′＜0得x＞3，x∈（3，+∞）時，y為減函數-----------（5分）
∴當a＞3時，y在[a，+∞）上為減函數，x=a時，y最大----------（6分）
當a≤3時，y在[a，3）上為增函數，在[3，+∞）上為減函數，x=3時，y最大---------（8分）
綜上所述，當a＞3時，該廠家2011年投入的促銷費用a萬元時，廠家的利潤最大，
當a≤3時，該廠家2011年投入的促銷費用3萬元時，廠家的利潤最大．-------（9分）
分析：（1）每件產品的成本為8+16t+x元，且，則利潤函數整理即可；
（2）先求函數導函數，然后根據導數符號研究函數的單調性，從而求出函數最值時a的值．
點評：本題考查了利潤函數模型的應用，也考查了利用導數研究函數的最值問題，是中檔題．