Question

在△ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，A=

π

3

，sinB=

3

3

．
（1）求cosB的值；
（2）若2c=b+2，求邊長b．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：（1）由正弦定理可得A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，由于

3

2

＞

3

3

，則sinA＞sinB，即有A＞B，則B為銳角，即可求cosB的值．
（2）利用正弦定理寫出ab關系式，結合已知條件與余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）由∠A=

π

3

，得sinA=

3

2

，
由正弦定理可得，a=2RsinA，b=2RsinB，
則A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，
由于

3

2

＞

3

3

，則sinA＞sinB，即有A＞B，
則B為銳角，
則cosB=

1-sin2B

=

6

3

．
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，∠A=60°，sinB=

3

3

，
由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

，可得

a

3 2

=

b

3 3

，解得a=

3

2

…①，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos60°，…②
∵2c=b+2，可得c=

b

2

+1…③，
①③代入②可得：

9

4

b²=b²+（

b

2

+1）²-b（

b

2

+1），
化簡整理得：b²=

2

3

，
解得b=

6

3

．

點評：本題主要考查正弦定理以及余弦定理的應用，考查基本知識的應用以及計算能力，綜合性較強，屬于中檔題．