Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為M，N，在BN的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使NP=BN，在CM的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使MQ=CM，利用向量證明：P、A、Q三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：構(gòu)造△ABC的兩邊AB、AC為向量的一組基底，把要證明共線的三點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)向量，用基底表示向量，根據(jù)是三角形法則，得到兩個(gè)向量共線，又知兩共線向量有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．

解答：解：設(shè)

AB

 =

a

，

AC

=

b

，
∴

AP

=

AN

+

NP

=

AN

+

BN

=

b

-

a

，
∴

AQ

=

AM

+

MQ

=

AM

+

CM

=

a

-

b

，
∴

AP

=-

AQ

，
∴

AP

∥

AQ

，
又因?yàn)閮蓚�(gè)向量有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴P、A、Q三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：用一組向量來(lái)表示一個(gè)向量，是以后解題過(guò)程中常見(jiàn)到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，好多問(wèn)題都是以向量為載體的．