Question

已知O是三角形ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，則三角形ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：取AC中點為D，則OD⊥AC，把

AO

寫為

AD

+

DO

，然后用兩種方法寫出

AO

•

AC

，由數量積相等結合2x+10y=5求得cos∠BAC，進一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形ABC的面積．

解答： 解：當B為直角時，由AB=6，AC=10，求得BC=8，滿足

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，
此時三角形ABC的面積為S=

1

2

•AB•AC=

1

2

×6×8=24；
當B不是直角時，
取AC中點為D，則OD⊥AC，

DO

⊥

AC

，
∵

AO

=

AD

+

DO

，
∴

AO

•

AC

=

AD

•

AC

+

DO

•

AC

=|

AD

||

AC

|cos0=5×10=50．
又

AO

=x

AB

+y

AC

，
∴

AO

•

AC

=(x

AB

+y

AC

)•

AC

=x

AB

•

AC

+y|

AC

|2=x|

AB

||

AC

|cos∠BAC+y|

AC

|2
=60x•cos∠BAC+100y，
∴60x•cos∠BAC+100y=5，
又2x+10y=5，
cos∠BAC=

1

3

，則sin∠BAC=

2 2

3

．
∴三角形ABC的面積為S=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

×6×10×

2 2

3

=20

2

．
故答案為：24或20

2

．

點評：本題考查了向量在幾何中的應用，考查了平面向量的數量積運算，考查了三角形面積公式的應用，是中檔題．