Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD所在平面與直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且，，P為DF中點．

（1）求證：直線PE平行于平面ABCD；

（2）求PE與平面BCE所成的線面角大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取AD中點為Q，連接PQ，QB，通過證明四邊形為平行四邊形可得，再根據直線與平面平行的判定定理可證結論；

（2）先證明兩兩垂直，再以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量可求得結果.

（1）證明：取AD中點為Q，連接PQ，QB，

則，由于，故，

所以四邊形為平行四邊形，

∴，因為平面ABCD，平面ABCD，

∴平面ABCD；

（2）在中，因為，所以，所以，又平面平面，所以平面，所以，

所以兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

則，，，，，，，

所以，，，

令平面的法向量為，

則由，可得，取，則，所以．

令所求的線面角為，則，

所以直線PE與平面BCE所成的角為．