Question

已知：

a

，

b

，

c

是同一平面內的三個向量，其中

a

=(

3

，-1)
（1）若|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

，求

c

的坐標；
（2）若12

a

+7

b

與

a

-

b

垂直，且

b

與

a

的夾角為120°，求|

b

|．

Answer 1

分析：（1）令

c

=(x，y)，由|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

建立關于

c

的坐標的方程，求出它的坐標即可；
（2）12

a

+7

b

與

a

-

b

垂直，則它們的內積為0，由此方程結合

b

與

a

的夾角為120⁰，求出向量的模，

解答：解：（1）令

c

=(x，y)，由

a

=(

3

，-1)，|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

得

x2+y2=16 x+ 3 y=0

解得

x=-2 3? y=2

或

x=2 3? y=-2

故

c

的坐標為(-2

3

，2)；或(2

3

，-2)
（2）∵12

a

+7

b

與

a

-

b

垂直
∴(12

a

+7

b

)(

a

-

b

)=0，
即12

a

2-5

a

•

b

-7

b

2=0
又

a

=(

3

，-1)，

b

與

a

的夾角為120⁰，
得48+5|

b

|-7

b

2=0解得|

b

|=3

點評：本題考查平面向量的綜合題，解答本題關鍵是熟練掌握向量的模的坐標表示，向量共線的坐標表示，兩向量垂直的條件，向量的數量積公式，本題涉及到了向量的主要運算，綜合性強，是向量中非常典型的綜合題，此題也是近幾年高考中對向量考查時出現率最高的形式．本題常因忘記等價條件導致無法轉化，致使解題失敗，平坦學習時一定要注意積累基礎知識，記牢，記準．