Question

設a、b、m為整數（m＞0），若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m 同余．記為a≡b（mod m）．已知a=2+C

1 20

+C

2 20

•2+C

3 20

•2²+…+C

20 20

•2¹⁹，b≡a（mon 10），則b的值可以是（　　）

A．2015

B．2012

C．2008

D．2006

Answer 1

分析：根據已知中a和b對模m同余的定義，結合二項式定理，我們可以求出a的值，結合a≡b（bmod10），比較四個答案中的數字，結合得到答案．

解答：解：∵已知a=2+

C

1 20

+

C

2 20

•2+

C

3 20

•2² +…+

C

20 20

•2¹⁹
=

1

2

（

C

0 20

+

C

1 20

•2+

C

2 20

•2²+

C

3 20

•2³+…+

C

20 20

•2²⁰ ）+

3

2

 
=

1

2

•（1+2）²⁰+

3

2

=

1

2

•3²⁰+

3

2

，
∵3¹個位是3，3²個位是9，3³個位是7，3⁴個位是1，3⁵個位是3，…
∴3²⁰個位是1，故a=

1

2

•3²⁰+

3

2

 的個位數是2．
又∵b≡a（bmod10），
∴b的個位也是2，結合所給的選項，
故選B．

點評：本題考查的知識點是同余定理，其中正確理解a和b對模m同余，是解答本題的關鍵，同時利用二項式定理求出a的值，也很關鍵，屬于中檔題．