Question

（本題滿分16分）

已知函數，，且）．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，關于的方程有唯一解，求a的值.

Answer 1

（本題滿分16分）

（1）由已知得x＞0且．

當k是奇數時，，則f(x)在(0,+)上是增函數;       …………………3分

當k是偶數時，則.　    ………………………5分

所以當x時，，當x時，.

故當k是偶數時，f (x)在上是減函數，在上是增函數．………………7分

（2）若，則.

記g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     ………………………………9分

令,得.因為，

所以（舍去），.  …………………11分

當時，，在是單調遞減函數；

當時，，在上是單調遞增函數．

當x=x₂時, ，.        ……………………………12分

因為有唯一解，所以.

則 即    ……………………………13分

兩式相減得因為a>0，所以. …………14分

設函數，

因為在x>0時，h (x)是增函數，所以h (x) = 0至多有一解．

因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得．……………………16