Question

【題目】已知函數

（1）求函數的單調區間；

（2）若，對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，設.若正實數，滿足，，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導后，分別在和兩種情況下根據導函數的正負求得函數的單調區間；

（2）通過分離變量得到，令，利用導數可求得最大值，由此得到；

（3）設，以為變量，令，通過判斷導函數的正負可確定在上單調遞增，得到，從而得到結論.

（1）由題意知：定義域為，，

令，則，

①當時，，即恒成立，

函數的單調遞增區間為；無單調遞減區間；

②當時，令，

解得：，，可知，

當和時，，即；

當時，，即；

的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；

綜上所述：①當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

②當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.

（2）對恒成立，即為對任意的，都有，

設，則，

令，則，

∴在上單調遞減，又，

∴當時，，即，單調遞增；

當，，即，單調遞減，

∴，

∴實數的取值范圍為.

（3）證明：當時，，

不妨設，以為變量，令，

則

且，

，即，又為增函數，

；

，，在上單調遞增，

，，

即.