Question

p：關于x的方程x²+2ax+3a²-a=0有實數解；q：關于x的不等式x²+3x+a＜0對恒成立．若p∨q為真，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：當p為真命題時，由一元二次方程根的判別式得：0≤a≤．而當q為真命題時，不等式左邊的最大值小于0，根據二次函數的圖象與性質，得a的取值范圍是：a＜0．因為“p∨q”是真命題，所以將兩部分求出的范圍取并集，即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：當p為真命題時，△=4a²-4（3a²-a）≥0，解之得0≤a≤
當q為真命題時，函數y=x²+3x+a在上的最大值小于0
由二次函數的圖象與性質，得函數最大值f（0）＜0，得a的取值范圍是：a＜0
∵“p∨q”是真命題
∴p或q中至少有一個真命題，即“0≤a≤”或“a＜0”至少一個成立
因此，實數a的取值范圍是a≤
故答案為：（-∞，]
點評：本題以命題真假的判斷載體，考查了一元二次方程根的判別式和二次不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．