Question

已知命題p：關于x的方程x²+ax+a²-1=0有一正根和一負根；q：函數y=（2a²-a）^1-x為減函數，若p或q為真p且q為假，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：根據題意可得命題q得：a＜-

1

2

或a＞1．命題q：a＜-

1

2

或a＞1，且p、q中必一真一假．當p真q假時，由

-1＜a＜1 - 1 2 ≤a≤1

求得實數a的范圍；當p假q真時，由

a≤-1或a≥1 a＜- 1 2 或a＞1

求得實數a的范圍，再把實數a的范圍取并集即得所求．

解答：解：令f（x）=x²+ax+a²-1，由題意得f（0）＜0，即a²-1＜0，
∴命題p即：-1＜a＜1．…（3分）
由命題q得：2a²-a＞1，即 a＜-

1

2

 或a＞1，
∴命題q即：a＜-

1

2

或a＞1．…（6分）
∵p或q為真p且q為假，∴p、q中必一真一假．
（1）當p真q假時，

-1＜a＜1 - 1 2 ≤a≤1

，∴-

1

2

≤a＜1．…（8分）
（2）當p假q真時，

a≤-1或a≥1 a＜- 1 2 或a＞1

，∴a≤-1或a＞1．…（10分）
∴實數a的范圍是a≤-1或-

1

2

≤a＜1或a＞1，即（-∞，-1]∪[-

1

2

，1]∪（1，+∞）． …（12分）

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，符合命題的真假，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．