Question

6．已知函數f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），那么關于x的不等式f（2x-6）+f（x）＞0的解集為（　　）

• A． {x|x＞-2}
• B． {x|x＞2}
• C． {x|0＜x＜2}
• D． {x|-2＜x＜2}

Answer 1

分析 根據條件先判斷函數的奇偶性和單調性，結合函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行等價轉化進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴f（-x）=$\frac{{4}^{-x}-{4}^{x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）^-1=-（$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x））=-f（x），
即函數f（x）是奇函數，
且函數f（x）在R上是增函數，
則不等式f（2x-6）+f（x）＞0等價為f（2x-6）＞-f（x）=f（-x），
即2x-6＞-x，即3x＞6，得x＞2，
即不等式的解集為{x|x＞2}，
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件判斷函數的奇偶性以及單調性是解決本題的關鍵．