Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓：，點在橢圓上，過點作圓的切線，其切線長為橢圓的短軸長.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓的另一個交點為，點在橢圓上，且，直線與軸交于點.設直線，的斜率分別為，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）根據圓的切線性質，求出，將點代入橢圓方程，即可求解；

（2）根據已知條件求出直線方程，與橢圓方程聯立，由韋達定理求出坐標關系，求出直線的斜率，可求出直線方程，進而求出點坐標，即可求出結論.

解：（Ⅰ）根據題目條件可知：，

解得：.又因為點在橢圓上，

所以，可得，

故橢圓的標準方程為：.

（Ⅱ）直線的斜率為，

因為，所以，

直線的直線方程為：

與橢圓的方程聯立可得：

，，

，

則.∵點的坐標為，

∴直線的直線方程為：，

則點解得，

，所以.