Question

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．
（1）若a＝3，b＝，求c；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）根據三角形內角和定理和誘導公式，將三角形內角的三角函數關系轉化為角的關系，求出其中的一個角，然后利用余弦定理列方程，即可求的值.要注意角的范圍和三角函數的單調性.
（2）利用（1）的部分結論，   可得，
＝＝＝,化成只含一個角的三角函數值，再利用三角函數的性質求出該式的范圍.
試題解析：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．
∵△ABC是銳角三角形，
∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，    ①
又A＋B＋C＝π，                   ②
由②－①，得B＝．
由余弦定理b²＝c²＋a²－2cacosB，得()²＝c²＋(3)²－2c×3cos，
即c²－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．
當c＝2時，b²＋c²－a²＝()²＋2²－(3)²＝－4＜0，
∴b²＋c²＜a²，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．
故c＝4．                             6分
（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．
∴＝＝＝sin(2A－)．
∵△ABC是銳角三角形，
∴＜A＜，∴－＜2A－＜，
∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．
故的取值范圍為(－1，1)．               12分
考點：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函數的性質.