Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足S_n=

q

q-1

（a_n-1）（n∈N^*，q是大于0的常數，且q≠1），數列{b_n}是公比不為q的等比數列，c_n=a_n+b_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設q=2，b_n=3ⁿ，是否存在實數λ，使數列{c_n+1+λc_n}是等比數列？若存在，求出所有可能的實數λ的值，若不存在說明理由；
（Ⅲ）數列{c_n}是否能為等比數列？若能，請給出一個符合的條件的q和b_n的組合，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用數列的項與前n項和的關系將項與和的關系轉化為項的遞推關系，據等比數列的定義判斷出是等比數列，求出通項．
（II）據等比數列等價于從第二項起，每一項都為前后兩項的等比中項，列出等式，求出λ的值．
（III）求出前三項，通過前三項不能成等比數列，證得數列不能成等比數列．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

(an-1-1)，
整理得a_n=qa_n-1
又由S1=a1=

q

q-1

(a1-1)，得a₁=q
結合q＞0知，數列a_n是首項為q公比為q的等比數列，
∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（Ⅱ）結合（Ⅰ）知，當q=2時，a_n=2ⁿ，所以c_n=2ⁿ+3ⁿ
假設存在實數λ，使數列c_n+1+λc_n是等比數列，則對任意n≥2有
（c_n+1+λc_n）²=（c_n+2+λc_n+1）（c_n+λc_n-1），將c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得：
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+λ（2ⁿ+3ⁿ）]²=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²+λ（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ+λ（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+λ）2ⁿ+（3+λ）3ⁿ]²=[（2+λ）2ⁿ⁺¹+（3+λ）3ⁿ⁺¹][（2+λ）2^n-1+（3+λ）3^n-1]，
整理得

1

6

（2+λ）（3+λ）•2ⁿ•3ⁿ=0，解得λ=-2或λ=-3．
故存在實數實數λ=-2或-3，使使數列c_n+1+λc_n是等比數列．
（Ⅲ）數列{c_n}不可能為等比數列．
理由如下：設等比數列{b_n}的公比分別為p，則由題設知p≠q，則c_n=qⁿ+b₁p^n-1
為證{c_n}不是等比數列只需證c₂²≠c₁•c₃．
事實上，c₂²=（q²+b₁p）²=q⁴+2q²b₁p+b₁²p²，①
c₁•c₃=（q+b₁）（q³+b₁p²）=q⁴+b₁²p²+b₁q（p²+q²），．②
②-①得
c₁c₃-c₂²=b₁q（p²+q²-2pq）
由于p≠q時，p²+q²＞2pq，又q及等比數列的首項b₁均不為零，
所以c₁c₃-c₂²≠0，即c₂²≠c₁•c₃．故{c_n}不是等比數列．

點評：利用S_n求a_n時，注意要分n≥2和n=1兩段求，在判斷求出的兩段是否能合成一段；證明數列是等比數列與證明一個數列不是等比數列的區別：若是，需證得任意三項成等比數列，若不是，只需證的前三項不是等比數列即可．