Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，，再寫一式，兩式相減可得數列{a_n}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；利用公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項，可求首項，從而可得{b_n}的通項公式；
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•(

1

2

)n，利用錯位相減法，可得結論．

解答：解：（I）∵數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，∴n≥2時，S_n-1=1-a_n-1，
∴兩式相減可得a_n=a_n-1-a_n，∴

an

an-1

=

1

2

（n≥2）
∵n=1時，S₁=1-a₁，∴a₁=

1

2

∴數列{a_n}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列
∴a_n=(

1

2

)n；
∵公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•(

1

2

)n
∴T_n=1•

1

2

+4•(

1

2

)2+…+（3n-2）•(

1

2

)n
∴

1

2

T_n=1•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3+…+（3n-5）•(

1

2

)n+（3n-2）•(

1

2

)n+1
兩式相減可得

1

2

T_n=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+3•(

1

2

)n-（3n-2）•(

1

2

)n+1=2-（3n+4）•(

1

2

)n+1
∴T_n=4-（6n+8）•(

1

2

)n+1．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．