Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范圍；
（3）試探究直線y=x-1與函數y=f（x）的圖象交點個數的情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意求出f′（x）由已知可知f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，則x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0．求出b即可；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，因為1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，推出c=1-a，又f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x₁=0，．f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，求出a的取值范圍，求出f（2）的取值范圍即可．
（3）要求直線y=x-1與函數y=f（x）的圖象交點個數，需要把兩個解析式聯立求公共解，公共解有幾個交點就有幾個，再討論a的取值范圍，分不同情況討論出交點個數即可．
解答：解：（1）解：∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
∴當x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0．∴b=0．
（2）解：由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，∴c=1-a．
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x₁=0，．
∵f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，
∴，即．
∴．
（3）解：由（2）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且．
要討論直線y=x-1與函數y=f（x）圖象的交點個數情況，
即求方程組
解的個數情況：由-x³+ax²+1-a=x-1，得（x³-1）-a（x²-1）+（x-1）=0．
即（x-1）（x²+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0．
即（x-1）[x²+（1-a）x+（2-a）]=0．∴x=1或x²+（1-a）x+（2-a）=0．
由方程x²+（1-a）x+（2-a）=0，（*）
得△=（1-a）²-4（2-a）=a²+2a-7．∵，
若△＜0，即a²+2a-7＜0，解得．此時方程（*）無實數解．
若△=0，即a²+2a-7=0，解得．此時方程（*）有一個實數解．
若△＞0，即a²+2a-7＞0，解得．
此時方程（*）有兩個實數解，分別為
，．
且當a=2時，x₁=0，x₂=1．
綜上所述，當時，直線y=x-1與函數y=f（x）的圖象有一個交點．
當或a=2時，直線y=x-1與函數y=f（x）的圖象有二個交點．
當且a≠2時，直線y=x-1與函數y=f（x）的圖象有三個交點．
點評：此題考查利用導數求函數的最值的方法確定函數解析式，函數與方程的綜合應用．培養學生解數學決問題的能力．