Question

【題目】已知函數(shù) ， 是函數(shù)的極值點.

（1）若，求函數(shù)的最小值；

（2）若不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，證明： .

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）在區(qū)間 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2），方程（），不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，則方程必有個不相等的正根， 是極大值點， 是極小值點， ，只需證明。

試題解析：

（1）解： ，其定義域是 .

.

令 ，得

所以， 在區(qū)間 單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以的最小值為.

（2）解：函數(shù)的定義域是

對求導(dǎo)數(shù)，得

顯然，方程（ ）

設(shè)不是單調(diào)函數(shù)，且無最小值，則方程必有個不相等的正根，所以解得

設(shè)方程的個不相等的正根是， ，其中

所以

列表分析如下：

所以， 是極大值點， 是極小值點，

故只需證明，由，且得

因為， ，所以

從而