Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）當，且時，判斷函數是否存在極值，若存在，求出極值點；若不存在，說明理由；

（2）若，對任意的正整數，當時，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析; （1）令 ，求出 的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極小值即可；
（Ⅱ） 時，求 的導數，通過討論 是奇數，偶數，結合函數的單調性證明結論即可．

試題解析：（1）由已知得函數的定義域為，

當時，，所以，

當時，由得，此時

當時，單調遞減；當時，單調遞增.

當時，在處取得極小值，極小值點為.

（2）證：因為，所以.

當為偶數時，令，則

∴所以當時，單調遞增，的最小值為.因此

所以成立.

當為奇數時，要證，由于，所以只需證.

令，則，

當時，單調遞增，又，

所以當時，恒有,命題成立.