Question

（本小題滿分16分）
如圖，橢圓的右焦點為，右準線為，

（1）求到點和直線的距離相等的點的軌跡方程。
（2）過點作直線交橢圓于點，又直線交于點,若，
求線段的長；
（3）已知點的坐標為，直線交直線于點，且和橢圓的一個交點為點，是否存在實數，使得，若存在，求出實數；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）. 
（2）|． 
（3）假設存在實數滿足題意．
由已知得 ①
 ②
橢圓C：  ③
由①②解得，．
由①③解得，．            
∴，
．
故可得滿足題意．                                

第一問，由橢圓方程為
可得，，，
 ，．     
設，則由題意可知，
化簡得點G的軌跡方程為
第二問中，由題意可知，故將代入，
可得，從而
第三問中，假設存在實數滿足題意．由已知得 ① ②
橢圓C：由①②解得，．
由①③解得，
結合向量的數量積得到結論。
解：（1）由橢圓方程為
可得，，，
 ，．     
設，則由題意可知，
化簡得點G的軌跡方程為. …………4分
（2）由題意可知，
故將代入，
可得，從而．  ……………8分
（3）假設存在實數滿足題意．
由已知得 ①
 ②
橢圓C：  ③
由①②解得，．
由①③解得，．             ………………………12分
∴，
．
故可得滿足題意．                                 ………………………16分