Question

已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）設a＜-1．如果對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）根據第一問的單調性先對|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|進行化簡整理，轉化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）單調減函數，再利用參數分離法求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）.f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

．
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調增加；
當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調減少；
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．
則當x∈(0，

- a+1 2a

)時，f'（x）＞0；x∈(

- a+1 2a

，+∞)時，f'（x）＜0．
故f（x）在(0，

- a+1 2a

)單調增加，在(

- a+1 2a

，+∞)單調減少．
（Ⅱ）不妨假設x₁≥x₂，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調減少，
從而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等價于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁①
令g（x）=f（x）+4x，則g′(x)=

a+1

x

+2ax+4
①等價于g（x）在（0，+∞）單調減少，即

a+1

x

+2ax+4≤0．
從而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2-4x2-2

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2
故a的取值范圍為（-∞，-2]．（12分）

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．