Question

6．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（1＜ω＜3，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點M（$\frac{2π}{3}$，0）對稱，求函數f（x）=sin（ωx+φ）的解析式．

Answer 1

分析 根據誘導公式和奇偶性可知φ=$\frac{π}{2}$，根據對稱中心可求出ω，從而得出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是偶函數，0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∵f（x）的圖象關于M（$\frac{2π}{3}$，0）對稱，
∴sin（$\frac{2π}{3}ω$+$\frac{π}{2}$）=0，
∴$\frac{2π}{3}ω$+$\frac{π}{2}$=kπ，即ω=$\frac{3k}{2}$-$\frac{3}{4}$，k∈Z．
∵1＜ω＜3，
∴ω=$\frac{9}{4}$．
∴f（x）=sin（$\frac{9}{4}x$+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{9x}{4}$．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．