Question

【題目】如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為，，，，，.

（1）求證：平面；

（2）為線段上的點，當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據四邊形是矩形，得到，根據線面平行的判定定理得到平面，進而得到平面，利用面面平行的判定定理證得平面平面，利用面面平行的性質得到平面，證得結果；

（2）根據題意，證得平面平面，作于點，則平面，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用空間向量求得二面角的余弦值.

（1）證明：因為四邊形是矩形，所以，

又因為平面，所以平面，

因為，平面，所以平面，

又因為，所以平面平面，

而平面，所以平面.

（2）解：因為，，所以，

因為平面，故平面平面，

作于點，則平面，

以為原點，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由，，，得，，

則，，，，

所以，

由已知，所以，，

設平面的一個法向量為，則，

取，，，得，又平面的一個法向量為，

所以，即二面角的余弦值為.