Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的上頂點為A，左右焦點分別為F₁、F₂，直線AF₂與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓C內的動點P，使|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比數列（O為坐標原點，）求

PF1

•

PF2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出圓的標準方程以及直線AF₂與的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出對應的橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比數列求出點P的坐標滿足的等量關系，再代入

PF1

•

PF2

借助于點P在橢圓內就可求出

PF1

•

PF2

的取值范圍．

解答：解：（1）將圓M：x²+y²-6x-2y+7=0化為標準方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑為r=

3

，（2分）
由A(0，1)，F2(c，0)，(c=

a2-1

)得直線AF₂：

x

c

+y=1，即x+cy-c=0（3分）
直線AF₂與圓M：相切得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，c=

2

，c=-

2

（舍去）（5分）
當c=

2

時，a²=c²+1=3，故橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1（6分）
（2）由（1）得，F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，設P（x，y），
由題意得|PO|²=|PF₁||PF₂|，即(

x2+y2

)2=

(x+ 2 ) 2+y2

•

(x- 2 )2+y2

化簡得：x²-y²=1   （9分）

PF1

•

PF2

=x2-2+y2=2x2-3（10分）
∵點P為橢圓內的動點，∴1≤x²＜

3

2

（12分）
∴-1≤

PF1

•

PF2

＜0（13分）

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．