Question

【題目】下列命題：

①若，則；

②已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是；

③已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的重心；

④在中，，邊長(zhǎng)分別為，則只有一解；

⑤如果△ABC內(nèi)接于半徑為的圓，且

則△ABC的面積的最大值；

其中正確的序號(hào)為_______________________。

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】① 若,則 代入上式得到，故正確；

②已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故選項(xiàng)不正確；

③已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，記BC中點(diǎn)為E，則，則2，AE直線過(guò)重心，故P一定過(guò)重心；

④根據(jù)正弦定理得，asinC=csinA，∴sinC=，故不成立.

∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根據(jù)正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，

可得a2+b2﹣c2=ab

∴cosC=，

∵角C為三角形的內(nèi)角，∴角C的大小為

∵c=2Rsin=R

∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得

2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立

∴ab≤

∴S△ABC=absinC≤ R2=

即△ABC面積的最大值為；故⑤正確，

故答案為：①③⑤