Question

已知

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（2，1）．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

|=|

b

|，

π

4

＜θ＜π，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）因為

a

∥

b

，所以sinθ=2（cosθ-2sinθ），由此求得tanθ的值．
（2）由|

a

|=|

b

|可得sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5，化簡求得 sin4θ=0，可得4θ=kπ，即θ=

kπ

4

，由

π

4

＜θ＜π，求得k和θ．

解答：解：（1）因為

a

∥

b

，所以sinθ=2（cosθ-2sinθ），于是4sinθ=cosθ，故tanθ=

2

5

．
（2）由|

a

|=|

b

|知，sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5，∴1-2sin2θ+4sin²θ=5，
從而-2sin2θ+2（1-cos2θ）=4，即sin2θ+cos2θ=-1．
∴1+2sin2θcos2θ=1，即sin4θ=0，
∴4θ=kπ，即θ=

kπ

4

，由

π

4

＜θ＜π，得

π

4

＜

kπ

4

＜π⇒1＜k＜4，k∈Z，
∴k=2或3，即θ=

π

2

或θ=

3π

4

．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題．