Question

f（x）是R上以2為周期的奇函數，當x∈（0，1）時f(x)=log2

1

|x-1|

，則f（x）在x∈（3，4）時是（　�。�

A．減函數且f（x）＞0

B．減函數且f（x）＜0

C．增函數且f（x）＞0

D．增函數且f（x）＜0

Answer 1

分析：欲求f（x）在區間（3，4）上的性質，可先求出其解析式，先根據奇偶性求出在（-1，0）上的解析式，然后根據周期性求出在（3，4）上的解析式，再根據解析式研究性質．

解答：解：設-1＜x＜0，則0＜-x＜1，∴f(-x)=log2

1

|x+1|

，
又f（x）=-f（x），∴f（x）=-log2

1

|x+1|

，
∴當3＜x＜4時，-1＜x-4＜0，
∴f（x）=f（x-4）=-log2

1

|x-3|

，
∴f（x）在x∈（3，4）上是增函數，且f（x）＜0．
故選：D．

點評：本題主要考查了函數周期性和單調性，已知奇函數的一側的解析式，可以求出其關于原點對稱的另一側的解析式，這是奇函數的一個重要應用，屬于基礎題．