Question

某紡紗廠生產甲、乙兩種棉紗，已知生產甲種棉紗1噸需耗一級子棉2噸，二級子棉1噸；生產乙種棉紗需耗一級子棉1噸，二級子棉2噸；每噸甲種棉紗的利潤是600元，每噸乙種棉紗的利潤是900元；工廠在生產這兩種棉紗的計劃中要求消耗一級子棉不超過300噸，二級子棉不超過250噸．問甲、乙兩種棉紗各生產多少噸，才能使利潤總額最大？并求最大利潤總額．

Answer 1

分析：先設設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，根據題意抽象出x，y滿足的條件，建立約束條件，作出可行域，再根據目標函數z=600x+900y，利用截距模型，平移直線找到最優解，即可．

解答：解：設生產甲、乙兩種棉紗分別為x噸、y噸，利潤總額為z元，
那么

2x+y≤300 x+2y≤250 x≥0 y≥0

z=600x+900y．（3分）
作出以上不等式組所表示的平面區域（如圖），即可行域．（6分）
作直線l：600x+900y=0，即直線l：2x+3y=0，把直線l向右上方平移至l₁的位置時，直線經過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z=600x+900y取最大值．
解方程組

2x+y=300 x+2y=250

，解得M的坐標為（

350

3

，

200

3

）．（10分）
因此，當x=

350

3

，y=

200

3

時，z取得最大值．此時zmax=600×

350

3

+900×

200

3

=130000．
答：應生產甲種棉紗

350

3

噸，乙種棉紗

200

3

噸，能使利潤總額達到最大，最大利潤總額為13萬元．

點評：本題主要考查用線性規劃解決實際問題中的最值問題，基本思路是抽象約束條件，作出可行域，利用目標函數的類型，找到最優解．屬中檔題．