Question

正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=（a+1）²，n∈N^*．
（1）試求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

an•an+1

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題設知Sn=

an2+2an+1

4

，a₁=1，Sn-1=

an-12+2an-1+1

4

，所以4a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+2（a_n-a_n-1），由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出T_n的值．

解答：解：（1）∵4S_n=（a+1）²，n∈N^*，∴Sn=

an2+2an+1

4

…①
當n=1時，a1=

a12+2a1+1

4

，∴a₁=1．
當n≥2時，Sn-1=

an-12+2an-1+1

4

…②
①、②式相減得：
4a_n=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）+2（a_n-a_n-1），
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n-a_n-1=2，
綜上得a_n=2n-1．（6分）
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．（12分）

點評：第（1）題考查數列的通項公式，解題時要注意迭代法的合理運用；第（2）題考查數列的前n項和的求法，解題時要注意裂項求和法的合理運用．