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13.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的長軸是圓x2+y2=4的一條直徑,且右焦點到直線x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)是否存在直線l:y=kx+m(k∈R)與橢圓C交于A,B兩點,使得$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|成立?若存在,求出實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (1)利用已知條件列出方程,求解a,b即可得到橢圓方程.
(2)假設存在這樣的直線.聯立直線與橢圓方程,設A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理,通過$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|,化簡求解即可.

解答 解:(1)由已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的長軸是圓x2+y2=4的一條直徑,2a=4,右焦點到直線x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.
$\frac{{|{c-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,
解得a=2,$c=\sqrt{3}$,所以b=1,
橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$.
(2)假設存在這樣的直線.
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,△=16(4k2-m2+1)>0,(*)
設A(x1,y1),B(x2,y2),則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}$,${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=${k^2}{x_1}{x_2}+km({{x_1}+{x_2}})+{m^2}$=$\frac{{{k^2}({4{m^2}-4})}}{{4{k^2}+1}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{4{k^2}+1}}+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$,
由$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$,即x1x2+y1y2=0,
故4k2=5m2-4,代入(*)式得$m<-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$m>\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及橢圓方程的求法,考查存在性問題的處理方法,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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