Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的長軸是圓x²+y²=4的一條直徑，且右焦點到直線x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m（k∈R）與橢圓C交于A，B兩點，使得$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程，求解a，b即可得到橢圓方程．
（2）假設存在這樣的直線．聯立直線與橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，通過$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|，化簡求解即可．

解答 解：（1）由已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的長軸是圓x²+y²=4的一條直徑，2a=4，右焦點到直線x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
$\frac{{|{c-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
解得a=2，$c=\sqrt{3}$，所以b=1，
橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）假設存在這樣的直線．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，△=16（4k²-m²+1）＞0，（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$=$\frac{{{k^2}（{4{m^2}-4}）}}{{4{k^2}+1}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{4{k^2}+1}}+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，
由$|{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}$|得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
故4k²=5m²-4，代入（*）式得$m＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$m＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及橢圓方程的求法，考查存在性問題的處理方法，考查轉化思想以及計算能力．