Question

【題目】

已知數列和滿足：,，，其中為實數，為正整數.

（Ⅰ）對任意實數，證明:數列不是等比數列；

（Ⅱ）證明：當時，數列是等比數列；

（Ⅲ）設（為實常數）,為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）存在，

【解析】

解： （Ⅰ）證明：假設存在一個實數，使｛an｝是等比數列，則有

即（）2=2矛盾.

所以｛an｝不是等比數列.

(Ⅱ)解：因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)

=-(-1)n·（an-3n+21）=-bn

當λ≠－18時，b1="-(λ+18)" ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

故當λ≠-18時，數列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數列；

（Ⅲ)由（2）知，當λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得

Sn=-

要使a<Sn<b對任意正整數n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）n］<b(n∈N+) ,

當n為正奇數時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=, f(n)的最小值為f(2)=,

于是，由①式得

當a<b3a時，由，不存在實數滿足要求

當b>3a存在λ，使得對任意正整數n,都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是）