Question

設數列｛an｝的首項a1＝1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t＞0，n＝2，3，4，…)． (1) 求證：數列｛an｝是等比數列 (2) 設數列｛an｝的公比為f(t)，作數列｛bn｝，使b1＝1，bn＝f(n＝2，3，4，…)，求bn．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由S1＝a1＝1．S2＝a1＋a2＝1＋a2，得t·(1＋a2)－(2t＋3)＝3t． 　　∴a2＝，于是＝． 　　又∵3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，　　　　　① 　　3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t．　　　　　　② 　　①－②得　3tan－(2t＋3)an－1＝0， 　　∴＝，n＝3，4，… 　　因此｛an｝為首項為1，公比為的等比數列．
(2)	∵f(t)＝＝＋， 　　∴bn＝f＝＋bn－1． 　　故｛bn｝為一首項為1，公差為的等差數列． 　　∴bn＝1＋(n－1)＝． 　　點評：本題利用遞推公式證明｛an｝為等比數列時，一定要注意驗證從第2項起，即＝q(n∈N*)成立，不要把首項排除在外．