Question

5．在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，班級(jí)學(xué)委對(duì)選答題的選題情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表：（單位：人）

	幾何證明選講	坐標(biāo)系與參數(shù)方程	不等式選講	合計(jì)
男同學(xué)	12	4	6	22
女同學(xué)	0	8	12	20
合計(jì)	12	12	18	42

在原統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機(jī)選出7名同學(xué)進(jìn)行座談．已知兩名數(shù)學(xué)科代表都在選做《不等式選講》的同學(xué)中．
（Ⅰ）求在選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的同學(xué)中，至少有一名女生參加座談的概率；
（Ⅱ）記抽到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分層抽樣的原理可知在“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的12位同學(xué)中，要選取2位同學(xué)，由此能求出至少有一名女生參加座談的概率．
（Ⅱ）由題可知在“不等式選講”的18位同學(xué)中，要選取3位同學(xué)，由題知X的可能值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由分層抽樣的原理可知在“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的12位同學(xué)中，要選取2位同學(xué)．
令事件A為“在選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的同學(xué)中，至少有一名女生參加座談”，
則P（A）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{11}{12}$．…（5分）
（Ⅱ）由題可知在“不等式選講”的18位同學(xué)中，要選取3位同學(xué)．
由題知X的可能值為0，1，2．
依題意P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{3}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{35}{51}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{16}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{16}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{18}^{3}}$=$\frac{1}{51}$，…（8分）
從而X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{35}{51}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{1}{51}$

…（10分）
于是E（X）=$0×\frac{35}{51}+1×\frac{5}{17}+2×\frac{1}{51}$=$\frac{1}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．