Question

【題目】已知橢圓 (a>b>0)的焦點在圓x2+y2=3上，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過原點O的直線l與橢圓C交于A，B兩點，F為右焦點，若△FAB為直角三角形，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得橢圓的焦點坐標，結合離心率，從而求出橢圓的方程；（Ⅱ）由為直角三角形，對與是否垂直進行討論，從而分別求出直線的方程.

試題解析：（Ⅰ）因為橢圓的焦點在x軸上，所以焦點為圓x2+y2=3與x軸的交點，即， .

所以.

又離心率，所以a=2.

故所求橢圓方程為.

（Ⅱ）當△FAB為直角三角形時，顯然直線l斜率存在，

可設直線l方程為y=kx，設A(x1,y1)，B(x2,y2).

（ⅰ）當FA⊥FB時， ， .

由

消y得(4k2+1)x2-4=0.

則x1+x2=0， .

解得.

此時直線l的方程為.

（ⅱ）當FA與FB不垂直時，根據橢圓的對稱性，不妨設.

所以解得

所以

此時直線l的方程為.

綜上，直線l的方程為或.