Question

【題目】數(shù)列的首項(xiàng)，該數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.記，.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有.

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在自然數(shù)，使得對(duì)任何自然數(shù)，都有？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法.

時(shí)，；另一方面，在中

令，則有.可見時(shí)命題成立.

設(shè)時(shí)命題成立.即

.

則有

.

可見，時(shí)命題也成立.

綜上所證知，對(duì)一切，命題成立.

（2）由知，的符號(hào)取決于的符號(hào).因?yàn)?/span>，所以為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.如果題目條件中的存在，則一定是偶數(shù).

考查

.

可見，在的條件下，等式右端的符號(hào)取決于的符號(hào).

又因?yàn)?/span>，所以與的符號(hào)相反或二者同時(shí)為0.

設(shè)，則有時(shí)，；

時(shí)，.

于是，是具有下列性質(zhì)的項(xiàng)：

且.另外，顯然對(duì)一切，，所以，.取，則對(duì)于任何，都有.