Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角，
求該四棱錐的體積．

Answer 1

分析：（1）取PB的中點O，連接ON，OA，通過證明四邊形MNOA為平行四邊形．得出MN∥AO，根據判定定理即可證明．
（2）容易得出∠PAB為平面PDA與平面ABCD成二面角的平面角，在RT△PBA中，求出椎體的高PB，利用錐體體積公式計算即可．

解答：（1）證明：取PB的中點O，連接ON，OA，
∵O，N分別是PB，PC的中點，
∴ON∥BC，ON=

1

2

BC
又AD∥BC，AM=

1

2

AD，
∴ON∥AM，ON=AM．
∴四邊形MNOA為平行四邊形．
∴MN∥AO
而MN?平面PAB，AO?平面PAB
∴MN∥平面PAB．
（2）解：∵PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PB⊥AD，
又AB⊥AD，AB∩PB=B，
∴AD⊥面PAB，
∴AD⊥PA．
∴∠PAB為平面PDA與平面ABCD成二面角的平面角，
∴∠PAB=60°，
在RT△PBA中，PB=tan∠PAB•AB=

3

a，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PB=

1

3

×a²×

3

a=

3  a3

3

點評：本題考查線面平行的判定，錐體體積計算，考查轉化、計算、論證能力．