Question

【題目】已知函數，（其中為自然對數的底數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，函數有最小值，求函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增;（2）.

【解析】

（1）求出導數，分成，兩種情況求導數為零的根，從而可探究出函數和導數隨自變量的變化情況.

（2）求出，通過導數求出的單調性，結合零點存在定理得出存在，使得，即，從而得出的單調性，進而求出的解析式，再利用的單調性，從而可求其值域.

（1）解：，令，當時，恒成立，此時單調遞增；

當時，解得，，則隨的變化如下表，

則在上遞減，在上遞增.

綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）因為，，則，

則 ，設，

則，則在上單調遞增.

對于，因為，，因此存在，

使得，即，故

當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增.則

即，則，由，

可知，單調遞增.由得，.

所以的值域為.