Question

14．設數列{a_n}為等差數列，且a₁₁=$\frac{3π}{8}$，若f（x）=sin2x+2cos²x，記b_n=f（a_n），則數列{b_n}的前21項和為21．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，求出函數的對稱中心，然后化簡求解數列的和．

解答 解：由題意f（x）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
易知f（x）關于（$\frac{3π}{8}$，1）中心對稱，數列{a_n}為等差數列，
故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=f（$\frac{3π}{8}$）=1，
故數列{b_n}的前21項和S₂₁=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₁）=21．
故答案為：21．

點評 本題考查數列與三角函數相結合，考查轉化思想以及計算能力．