Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+1．
（I）求f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（II）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=2，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I） 利用兩角和正弦公式化簡f（x）=sin（2x+

π

6

）+3，最小正周期 T=

2π

2

=π，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解出x的范圍，即得單調遞減區間．
（II）由f（A）=2 求出sin（2A+

π

6

 ）=

1

2

，由

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，求得A 值，余弦定理求得 a 值．

解答：解：（I） 函數f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

2

sin2x + 

1

2

cos2x + 

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
故最小正周期 T=

2π

2

=π，令  2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得
 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，故函數的減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（II）由f（A）=2，可得 sin（2A+

π

6

 ）+

3

2

=2，∴sin（2A+

π

6

 ）=

1

2

，
又 0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

．
∵b=1，△ABC的面積為

3

2

=

1

2

bcsinA，∴c=2．
又 a²=b²+c²-2bc•cosA=3，∴a=

3

．

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的單調性，奇偶性，根據三角函數的值求角，求出角A的值是解題的難點．