Question

已知（m為常數，m>0且m≠1）．
設（n∈^?）是首項為m²，公比為m的等比數列．
（1）求證：數列是等差數列；
（2）若，且數列的前n項和為S_n，當m＝2時，求S_n；

Answer 1

（1）見解析（2）2^n＋2·n

本題考查數列的定義的應用，錯位相減法，數列與函數相結合，恒成立問題的綜合應用，考查分析問題解決問題，轉化思想的應用，知識面廣，運算量大．
（1）利用f （x）=m^x（m為常數，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表達式，利用等差數列的定義，證明數列{a_n}是等差數列；
（2）通過b_n=a_n f （a_n），且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=2時，求出S_n的表達式，利用錯位相減法求出S_n；
解：（1）由題意f（a_n）＝，即．
∴a_n＝n＋1，（2分）      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．
（2）由題意＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，
當m＝2時，b_n＝（n＋1）·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1　①
①式兩端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2　②
②－①并整理，得
S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．