Question

已知圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A（0，-4），B（0，-2）； 
（1）求圓C的方程．
（2）設點P（x，y）為圓C上的動點，求（x-2）²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得到圓心在y=-3上，又圓心在直線2x-y-7=0上，聯立求出圓心C坐標，利用兩點間的距離公式求出r的值，即可確定出圓C的方程；
（2）法1：由圓C的方程變形代入所求式子化簡，表示出Z=-4-6y，由y的范圍即可確定出Z的范圍；
法2：根據圓的方程設出參數方程，代入所求式子化簡，根據sinα的值域即可確定出Z的范圍．

解答：解：（1）根據題意知，圓心C在直線y=-3上，
由

y=-3 2x-y-7=0

，解得：

x=2 y=-3

，即圓心C（2，-3），
又r=|AC|=

5

，
則所求圓的方程為：（x-2）²+（y+3）²=5；
（2）法1：由圓C方程：（x-2）²+（y+3）²=5知：Z=（x-2）²+y²=5-（y+3）²+y²=-4-6y，
由圓方程知：y∈[-3-

5

，-3+

5

]，即-4-6y∈[14-6

5

，14+6

5

]，
則Z∈[14-6

5

，14+6

5

]；
法2：由圓C的方程為：（x-2）²+（y+3）²=5，
設P（x，y），可得

x=2+ 5 cosα y=-3+ 5 sinα

（α為參數，α∈[0，2π]），
代入Z=（x-2）²+y²化簡得：Z=14-6

5

sinα，
∵|sinα|≤1，
∴Z∈[14-6

5

，14+6

5

]．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，圓的參數方程，正弦函數的定義域與值域，弄清題意是解本題的關鍵．