Question

以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動點(diǎn)的軌跡為雙曲線；②過定圓上一定點(diǎn)作圓的動點(diǎn)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動點(diǎn)的軌跡為圓；③設(shè)是的一內(nèi)角，且，則表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；④已知兩定點(diǎn)和一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱.
其中真命題的序號為               （寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

②④

解析試題分析：對于①，由雙曲線的定義可知，動點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支，所以①不正確；對于②，由，可知點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，連結(jié)，則有即，而均為定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，所以②正確；對于③，由兩邊平方可得，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d9/5/jdadp3.png" style="vertical-align:middle;" />是的一個(gè)內(nèi)角，可判斷為鈍角，所以且，聯(lián)立，從而方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以③錯(cuò)誤；對于④，設(shè)動點(diǎn)，則由可得，將代入等式左邊可得，所以動點(diǎn)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱，即④正確；綜上可知，真命題的序號是②④.
考點(diǎn)：1.雙曲線的定義；2.動點(diǎn)的軌跡問題；3.雙曲線的離心率.