Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F（1，0），離心率為

1

2

．過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，且

27

11

≤|FA|•|FB|≤3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率公式、關系式a²=b²+c²即可得出a、b，進而得到橢圓的標準方程；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及已知條件即可得出斜率的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得：c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直線l過焦點F，∴△＞0，
且x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|FA|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

1+k2

|x1-1|，
同理|FB|=

1+k2

|x2-1|，
故|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)+1|=

9(1+k2)

3+4k2

．
由

27

11

≤|FA|•|FB|≤3，∴

27

11

≤

9(1+k2)

3+4k2

≤3，解得0≤k²≤2．
所以直線l的斜率k的取值范圍是[-

2

，

2

]．

點評：熟練掌握橢圓的定義及性質、直線與橢圓的相交問題的解題方法、根與系數的關系、不等式的解法是解題的關鍵．